الرئيسية
أحدث الصورحدد جميع المثلثات ABC بحيث تكون (tan(A و (tan(B و (tan(C أعداد صحيحة طبيعية .
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
ظل زاوية مثلث...
mathadore- عضو فضي
- تاريخ التسجيل : 03/05/2009
mathadore- عضو فضي
- تاريخ التسجيل : 03/05/2009
بوضع [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] و [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] و [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] تعود المسألة إلى حل المعادلة الديوفانتية [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] حيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] و [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] و [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أعداد صحيحة موجبة قطعا ؟
لاحظ أولا أنه لايمكن أن يكون للمثلث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] زاية منفرجة لأن في هذه الحالة يكون [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] سالبا وهذا يناقض كونها موجبة .
ثانيا لايمكن أن يكون المثلث قائم الزاوية في A مثلا لأن في هذه الحالة سيكون [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
ثالثا لايمكن أن يكون متساوي الساقين مثلا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] لأن هذا يستلزم [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
ومن هذه المتساوية الأخيرة نثبت بسهولة أن إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وطبعا هذا غير ممكن مادام [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عدد صحيح موجب غير منعدم .
إذن المثلث زواياه كلها حادة والأضلاع غير مختلفة ومنه يمكن أن نفترض أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
وبما أن[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وحيث أن العددين صحيحين موجبين فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] و [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
وبالتعويض في المعادلة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] نجد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
وبالتالي يوجد مثلث وحيد يحقق شروط المسألة :
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
لاحظ أولا أنه لايمكن أن يكون للمثلث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] زاية منفرجة لأن في هذه الحالة يكون [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] سالبا وهذا يناقض كونها موجبة .
ثانيا لايمكن أن يكون المثلث قائم الزاوية في A مثلا لأن في هذه الحالة سيكون [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
ثالثا لايمكن أن يكون متساوي الساقين مثلا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] لأن هذا يستلزم [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
ومن هذه المتساوية الأخيرة نثبت بسهولة أن إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وطبعا هذا غير ممكن مادام [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عدد صحيح موجب غير منعدم .
إذن المثلث زواياه كلها حادة والأضلاع غير مختلفة ومنه يمكن أن نفترض أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
وبما أن[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وحيث أن العددين صحيحين موجبين فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] و [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
وبالتعويض في المعادلة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] نجد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
وبالتالي يوجد مثلث وحيد يحقق شروط المسألة :
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] .